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關(guān)于勾股定理
勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過(guò)一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無(wú)法比擬的。
在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。
在國(guó)外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達(dá)哥拉斯定理。這是由于，他們認(rèn)為最早發(fā)現(xiàn)直角三角形具有“勾2+股2=弦2”這一性質(zhì)并且最先給出嚴(yán)格證明的是古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras,約公元前580-公元前500）。
實(shí)際上，在更早期的人類活動(dòng)中，人們就已經(jīng)認(rèn)識(shí)到這一定理的某些特例。除我國(guó)在公元前1000多年前發(fā)現(xiàn)勾股定理外，據(jù)說(shuō)古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來(lái)確定直角。但是，這一傳說(shuō)引起過(guò)許多數(shù)學(xué)史家的懷疑。比如，美國(guó)的數(shù)學(xué)史家M·克萊因教授曾經(jīng)指出：“我們也不知道埃及人是否認(rèn)識(shí)到畢達(dá)哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測(cè)量員），但所傳他們?cè)诶K上打結(jié)，把全長(zhǎng)分成長(zhǎng)度為3、4、5的三段，然后用來(lái)形成直角三角形之說(shuō)，則從未在任何文件上得到證實(shí)。”不過(guò)，考古學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥版書(shū)，據(jù)專家們考證，其中一塊上面刻有如下問(wèn)題：“一根長(zhǎng)度為30個(gè)單位的棍子直立在墻上，當(dāng)其上端滑下6個(gè)單位時(shí)，請(qǐng)問(wèn)其下端離開(kāi)墻角有多遠(yuǎn)？”這是一個(gè)三邊為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發(fā)現(xiàn)，在另一塊版板上面刻著一個(gè)奇特的數(shù)表，表中共刻有四列十五行數(shù)字，這是一個(gè)勾股數(shù)表：最右邊一列為從1到15的序號(hào)，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數(shù)值，一共記載著15組勾股數(shù)。這說(shuō)明，勾股定理實(shí)際上早已進(jìn)入了人類知識(shí)的寶庫(kù)。
證明方法：
先拿四個(gè)一樣的直角三角形。拼入一個(gè)（a+b）的正方形中，中央米色正方形的面積：c2 .圖（1）再改變?nèi)切蔚奈恢镁蜁?huì)看到兩個(gè)米色的正方形，面積是（a2 , b2）。圖（2）四個(gè)三角形面積不變，所以結(jié)論是：a2 + b2 = c2
勾股定理的歷史：
商高是公元前十一世紀(jì)的中國(guó)人。當(dāng)時(shí)中國(guó)的朝代是西周，是奴隸社會(huì)時(shí)期。在中國(guó)古代大約是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作 《周髀 算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對(duì)話。商高說(shuō)：“…故折矩，勾廣三，股修四,經(jīng)隅五。”商高那段話的意思就是說(shuō)：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5.以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”.這就是著名的勾股定理。
關(guān)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，《周髀算經(jīng)》上說(shuō)：“故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也。”“此數(shù)”指的是“勾三股四弦五”,這句話的意思就是說(shuō)：勾三股四弦五這種關(guān)系是在大禹治水時(shí)發(fā)現(xiàn)的。
趙爽：
東漢末至三國(guó)時(shí)代吳國(guó)人為《周髀算經(jīng)》作注，并著有《勾股圓方圖說(shuō)》。
趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截，割，拼，補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國(guó)古代以形證數(shù)，形數(shù)統(tǒng)一，代數(shù)和幾何緊密結(jié)合，互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且代有發(fā)展。例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。
中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。事實(shí)上，“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法正是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)極其重要的條件。正如當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊所說(shuō)：“在中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，數(shù)量關(guān)系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的……十七世紀(jì)笛卡兒解析幾何的發(fā)明，正是中國(guó)這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù)。”
中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作--《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話：
周公問(wèn)：“我聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒(méi)有梯子可以上去，地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”
商高回答說(shuō)：“數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)方和圓這些形體的認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩'得到的一條直角邊’勾‘等于3,另一條直角邊’股‘等于4的時(shí)候，那么它的斜邊’弦‘就必定是5.這 個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的。