數(shù)學課外小知識
《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，是當時整個希臘數(shù)學成果、方法、思想和精神的結晶，其內容和形式對幾何學本身和數(shù)學邏輯的發(fā)展有著巨大的影響。自它問世之日起，在長達二千多年的時間里一直盛行不衰。它歷經(jīng)多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版后，至今已有一千多種不同的版本。除了《圣經(jīng)》之外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相比。但《幾何原本》超越民族、種族、宗教信仰、文化意識方面的影響，卻是《圣經(jīng)》所無法比擬的。
公元前7世紀之后，希臘幾何學迅猛地發(fā)展，積累了豐富的材料。希臘學者們開始對當時的數(shù)學知識作有計劃的整理，并試圖將其組成一個嚴密的知識系統(tǒng)。首先做出這方面嘗試的是公元前5世紀的希波克拉底(hippocrates)，其后經(jīng)過了眾多數(shù)學家的修改和補充。到了公元前4世紀時，希臘學者們已經(jīng)為建構數(shù)學的理論大廈打下了堅實的基礎。
歐幾里得在前人工作的基礎之上，對希臘豐富的數(shù)學成果進行了收集、整理，用命題的形式重新表述，對一些結論作了嚴格的證明。他最大的貢獻就是選擇了一系列具有重大意義的、最原始的定義和公理，并將它們嚴格地按邏輯的順序進行排列，然后在此基礎上進行演繹和證明，形成了具有公理化結構的，具有嚴密邏輯體系的《幾何原本》。
《幾何原本》的希臘原始抄本已經(jīng)流失了，它的所有現(xiàn)代版本都是以希臘評注家泰奧恩(theon，約比歐幾里得晚七百年)編寫的修訂本為依據(jù)的�！稁缀卧尽返奶⿰W恩修訂本分13卷，總共有465個命題，其內容是闡述平面幾何、立體幾何及算術理論的系統(tǒng)化知識。
第一卷首先給出了一些必要的基本定義、解釋、公設和公理，還包括一些關于全等形、平行線和直線形的熟知的定理。該卷的最后兩個命題是畢達哥拉斯定理及其逆定理。這里我們想到了關于英國哲學家t.霍布斯的一個小故事：有一天，霍布斯在偶然翻閱歐幾里得的《幾何原本》，看到畢達哥拉斯定理，感到十分驚訝，他說：“上帝啊!這是不可能的�！彼珊笙蚯白屑氶喿x第一章的每個命題的證明，直到公理和公設，他終于完全信服了。 第二卷篇幅不大，主要討論畢達哥拉斯學派的幾何代數(shù)學。
第三卷包括圓、弦、割線、切線以及圓心角和圓周角的一些熟知的定理。這些定理大多都能在現(xiàn)在的中學數(shù)學課本中找到。第四卷則討論了給定圓的某些內接和外切正多邊形的尺規(guī)作圖問題。
第五卷對歐多克斯的比例理論作了精彩的解釋，被認為是最重要的數(shù)學杰作之一。據(jù)說，捷克斯洛伐克的一位并不出名的數(shù)學家和牧師波爾查諾(bolzano，1781-1848)，在布拉格度假時，恰好生病，為了分散注意力，他拿起《幾何原本》閱讀了第五卷的內容。他說，這種高明的方法使他興奮無比，以致于從病痛中完全解脫出來。此后，每當他朋友生病時，他總是把這作為一劑靈丹妙藥問病人推薦。
第七、八、九卷討論的是初等數(shù)論，給出了求兩個或多個整數(shù)的最大公因子的“歐幾里得算法”，討論了比例、幾何級數(shù)，還給出了許多關于數(shù)論的重要定理。
第十卷討論無理量，即不可公度的線段，是很難讀懂的一卷。最后三卷，即第十一、十二和十三卷，論述立體幾何。目前中學幾何課本中的內容，絕大多數(shù)都可以在《幾何原本》中找到。
《幾何原本》按照公理化結構，運用了亞里士多德的邏輯方法，建立了第一個完整的關于幾何學的演繹知識體系。所謂公理化結構就是：選取少量的原始概念和不需證明的命題，作為定義、公設和公理，使它們成為整個體系的出發(fā)點和邏輯依據(jù)，然后運用邏輯推理證明其他命題�！稁缀卧尽烦蔀榱藘汕Ф嗄陙磉\用公理化方法的一個絕好典范。
誠然，正如一些現(xiàn)代數(shù)學家所指出的那樣，《幾何原本》存在著一些結構上的缺陷，但這絲毫無損于這部著作的崇高價值。它的影響之深遠.使得“歐幾里得”與“幾何學”幾乎成了同義語。它集中體現(xiàn)了希臘數(shù)學所奠定的數(shù)學思想、數(shù)學精神，是人類文化遺產(chǎn)中的一塊瑰寶。