高中函數(shù)單調性的教學設計
教學目標
1、會用等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式解決有關等比數(shù)列一些簡單問題;提高分析、解決實際問題的能力。
2、通過公式的靈活運用，進一步滲透分類討論的思想、等價轉化的思想。
函數(shù)的單調性
知識目標：初步理解增函數(shù)、減函數(shù)、函數(shù)的單調性、單調區(qū)間的概念，并掌握判斷一些簡單函數(shù)單調性的方法。
能力目標：啟發(fā)學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，學會分析問題和創(chuàng)造地解決問題；通過觀察——猜想——推理——證明這一重要的思想方法，進一步培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和創(chuàng)新意識。
德育目標：在揭示函數(shù)單調性實質的同時進行辯證唯物主義思想教育。：
教學重點：函數(shù)單調性的有關概念的理解
教學難點：利用函數(shù)單調性的概念判斷或證明函數(shù)單調性
教 具： 多媒體課件、實物投影儀
教學過程：
一、創(chuàng)設情境，導入課題
[引例1]如圖為2006年黃石市元旦24小時內的氣溫變化圖．觀察這張氣溫變化圖：
問題1：氣溫隨時間的增大如何變化？
問題2：怎樣用數(shù)學語言來描述“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？
[引例2]觀察二次函數(shù)的圖象，從左向右函數(shù)圖象如何變化？并總結歸納出函數(shù)圖象中自變量x和 y值之間的變化規(guī)律。
結論：（1）y軸左側：逐漸下降； y軸右側：逐漸上升；
�。�2）左側 y隨x的增大而減小；右側y隨x的增大而增大。
上面的結論是直觀地由圖象得到的。還有很多函數(shù)具有這種性質，因此，我們有必要對函數(shù)這種性質作更進一步的一般性的討論和研究。
二、給出定義，剖析概念
①定義：對于函數(shù)f(x)的定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值
�、湃舢�<時，都有f()<f(),則f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)（如圖3）；
�、迫舢�<時，都有f()>f(),則f(x) 在這個區(qū)間上是減函數(shù)（如圖4）。
②單調性與單調區(qū)間
若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有單調性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調函數(shù).由此可知單調區(qū)間分為單調增區(qū)間和單調減區(qū)間。
注意：
�。�1）函數(shù)單調性的幾何特征：在單調區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。
當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2) y隨x增大而增大；當x1f(x2)y隨x增大而減小。
幾何解釋：遞增 函數(shù)圖象從左到右逐漸上升；遞減 函數(shù)圖象從左到右逐漸下降。
�。�2）函數(shù)單調性是針對某一個區(qū)間而言的，是一個局部性質。
有些函數(shù)在整個定義域內是單調的.；有些函數(shù)在定義域內的部分區(qū)間上是增函數(shù)，在部分區(qū)間上是減函數(shù)；有些函數(shù)是非單調函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)。
判斷2：定義在R上的函數(shù) f (x)滿足 f (2)> f(1)，則函數(shù) f (x)在R上是增函數(shù)。（×）
函數(shù)的單調性是函數(shù)在一個單調區(qū)間上的“整體”性質，具有任意性，不能用特殊值代替。
訓練：畫出下列函數(shù)圖像，并寫出單調區(qū)間：
三、范例講解，運用概念
例1 、如圖，是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還減函數(shù)。
注意：
�。�1）函數(shù)的單調性是對某一個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調性問題。
（2）在區(qū)間的端點處若有定義，可開可閉，但在整個定義域內要完整。
例2 判斷函數(shù) f (x) =3x+2 在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結論。
引導學生進行分析證明思路，同時展示證明過程：
證明：設任意的，且，則
由，得
于是
即。
所以，在R上是增函數(shù)。
分析證明中體現(xiàn)函數(shù)單調性的定義。
利用定義證明函數(shù)單調性的步驟：
�、偃我馊≈担杭丛Ox1、x2是該區(qū)間內的任意兩個值，且x1<x2
②作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法將差式向有利于判斷差的符號的方向變形
③判斷定號：確定f(x1)－f(x2)的符號
�、艿贸鼋Y論：根據(jù)定義作出結論（若差0，則為增函數(shù)；若差0，則為減函數(shù)）
即“任意取值——作差變形——判斷定號——得出結論”
例3、 證明函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù).
證明：設，且，則
由，得
又由，得，
于是即。
即。
所以，函數(shù)在區(qū)間上是單調減函數(shù)。
問題1 ：在上是什么函數(shù)？(減函數(shù))
問題2 ：能否說函數(shù)在定義域上是減函數(shù)？ （學生討論得出）
四、課堂練習，知識鞏固
課本59頁 練習：第1、3、4題。
五、課堂小結，知識梳理
1、增、減函數(shù)的定義。
函數(shù)單調性是對定義域的某個區(qū)間而言的，反映的是在這一區(qū)間上函數(shù)值隨自變量變化的性質。
2、函數(shù)單調性的判斷方法：（1）利用圖象觀察；（2）利用定義證明：
證明的步驟：任意取值——作差變形——判斷符號——得出結論。
六、布置作業(yè)，教學延伸
課本60頁 習題2.3 ：第4、5、6題。
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