《新元史》卷三十四·志第一
○歷一
△治歷本末
自《三統(tǒng)術(shù)》以后七十余家，至郭守敬之《授時(shí)》，測(cè)驗(yàn)愈精，析理愈微，立數(shù)俞簡(jiǎn)信，可謂度越前古者矣。然曰月星辰之高遠(yuǎn)，而以一人之智力窮之，欲其事事物合，永無差忒，此必不可得之?dāng)?shù)也。明之《大統(tǒng)》，實(shí)本《授時(shí)》，至成化以后，交食已往往不驗(yàn)。
皇朝宣城梅文鼎、婺源江水，皆深通數(shù)理。其生時(shí)《授時(shí)》疏舛凡數(shù)事：一曰增損歲余、歲差。一歲小余，古強(qiáng)今弱，一由日輪徑差，一由最卑動(dòng)移。《授時(shí)》考古，則增歲余而損歲差;推來，則增歲差而損歲余。乃末得其根，而以法遷就之。似密實(shí)疏，不足為法。一曰歲實(shí)消長(zhǎng)。天行盈縮，進(jìn)退以漸，無驟增、驟減之理�！妒跁r(shí)》百年消長(zhǎng)一分，是百年之內(nèi)皆無所差，逾一年則驟增減一分，又積百年則平差一分，逾一年又驟增減一分，無此推算之法。一曰二十四氣用恒氣。當(dāng)時(shí)高沖與冬至同度，最高與夏至同度，冬至為盈初，夏至為縮初，以為盈縮之常限如此。故以兩冬至相距之日，均為二十四氣，謂合于天之平分?jǐn)?shù)也。設(shè)如五十余年之后，高卑兩點(diǎn)各東移一度，則平冬至與定冬至不相值，及其極也，平冬至與定冬至相差兩日，猶能以兩定冬至相距之日，均為二十四氣乎?且其求冬至也，自丙子年立冬后。依每日測(cè)景取對(duì)冬至前后日差同者為準(zhǔn)，得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻，又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻，己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻，庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻，辛已冬至在己末日夜半后六刻。其求歲余也，自宋大明以來得冬至?xí)r刻真數(shù)者有六，用以相距，各得其時(shí)，合用歲余，考驗(yàn)四年相符不差，仍自大明壬寅年距今八百一十九年，每歲合得三百六十五日二十四刻二十五分，減大明術(shù)一十二秒，其二十五分為今律歲余合用之?dāng)?shù)。以此二事考之，則《授時(shí)》當(dāng)年所定之歲實(shí)，已有微差�；谑�，又多牴牾。夫一歲小余二十四刻二十五分，積之四歲王得九十七刻。丁丑冬至在戊戌日夜半后八刻，則辛巳冬至宜在己未夜半后五刻，不應(yīng)有六刻也。如以辛巳之六刻為是，則丁丑之冬至宜在九刻，不應(yīng)為八刻半也。此四年既皆實(shí)測(cè)所得，則已多半刻矣。而云相符不差，何也?又考大明五年十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分辰初三刻冬至。大明壬寅下距至元辛巳八百一十九年，以《授時(shí)》歲實(shí)積之，凡二十九萬九千一百三十三日六十刻七十五分，以乙酉辰初三刻距己未丑初二刻，凡二十九萬九千一百三十三日九十二刻，較多三十三刻。而云自大明壬寅距今每歲合得此數(shù)，何也?又云減大明術(shù)一十一秒�？即竺餍g(shù)紀(jì)法與周天一歲小余二十四刻二十八分一十四秒�！妒跁r(shí)》減去三分一十四秒，非一十一秒也。又古時(shí)太陽本輪、均輪半徑之差，大于今日，則加減均數(shù)亦大。而冬至歲實(shí)宜更增矣。至元辛巳間高沖約與冬至同度，則歲實(shí)尤大，其小余刻下之分約有三十分。而《授時(shí)》定為二十五分，宜其自丁丑至于辛巳四年之間，即有年刻之差，而守敬未之覺也。
凡此數(shù)事，皆足訂《授時(shí)》之誤。今撮大要著于篇，以備治歷者之參考焉。
至《授時(shí)》用平方、立方以求盈縮遲疾差，猶開方之舊術(shù)，用天元一御弧矢起數(shù)于圍三徑一，亦失之疏。若以弦矢求弧背，前后失均，象限以內(nèi)差而多，象限以外差而少，此又不能為前人諱者也。
《歷經(jīng)》、《歷議》，皆守敬所撰。世祖招李謙為《歷議》，潤(rùn)色其書而已，謙不能作也。札馬魯丁之《萬年歷》，實(shí)即明人所用之回回歷，《明史》詳矣，不具論。
蒙古初無歷法。太祖十五年，駐蹕撒馬爾干城，回鶻人奏五月望月蝕。中書令耶律楚材以《大明歷》推之，太陰當(dāng)虧二分，食甚在子正，乃未盡初更而月已蝕。是年二月、五月朔，微月見于西南。楚材以舊歷不驗(yàn)，遂別造《庚午元?dú)v》。據(jù)《大明歷》減周天七十三秒，歲差亦減七十三秒。以中元庚午歲，國(guó)兵南伐，天下略定，推上元庚午歲天正十一月壬戌朔子王冬至，為太祖受命之符。又以西域、中原地逾萬里，依唐僧一行里差之說，以增損之。東西測(cè)侯，不復(fù)差式。乃表上于行在曰：“漢、唐以來，經(jīng)元?jiǎng)?chuàng)法不啻百家，其氣候之早晏，朔望之疾徐，二曜之盈衰，五星之起伏，疏密無定，先后不同。蓋都邑之各殊，或歷年之漸遠(yuǎn)，不得不差也。唐歷八徒，宋歷九更，金《大明歷》百年才經(jīng)一改。此去中原萬里，以昔程今，昔密今疏，東微西著。今二月、五月朔，微月見于西南，較之于歷，悉為先天。”自漢、唐以來歷算之書備矣。俱無此說。是年正月、四月雖皆為小盡，然亦未有朔日見月者也。是時(shí)，太祖方用兵西域，其書不果頒用。
楚材嘗言，西域歷五星密于中國(guó)，又作《麻荅歷》，今不傳。楚材父履在金末作《乙未元?dú)v》，楚才益本其文之書，更名為《庚午元?dú)v》云。
至世祖至元四年，西域人札馬魯丁用回回法撰《萬年歷》，帝稍采用之。其法為默特納國(guó)王馬哈麻所造歷，元起西域阿刺必年，即隨開皇己未，不置閏月，以三百六十五日為一歲。歲十二宮，宮有閏日，凡百二十八年宮閏三十一日，以三百五十四日為一周，周十二月，月有閏日，凡三十年月閏十一日。歷千九百四十一年，宮月日辰再會(huì)。此其立法之大概也。
十三年，世祖平宋，詔前中書左丞許衡、太子贊善王恂、工部郎中郭守敬，立局改治新歷。先是，太保劉秉忠以《大明歷》遼、金承用歲久，浸以后天，議修正之。已而秉忠卒，事遂寢。至是，世祖思用其言，遂命詢與守敬率南北日官陳鼎臣、鄧元麟、毛鵬翼、劉巨源、王素、岳鉉、高敬等，分掌測(cè)驗(yàn)、推步，以衡能推明歷理，俾參預(yù)之。
守敬首言：“歷之本在于測(cè)驗(yàn)，而測(cè)驗(yàn)之器莫先儀表。今司天渾儀，宋皇佑中汴京所造，不與此處天度相符，比量南北二極，約差四度。表百年深，亦復(fù)欹側(cè)不可用。”乃盡考其失，而移置之。既又別圖爽塏，以木為重棚，創(chuàng)作簡(jiǎn)儀、高表，用相比覆。又以為天樞附極而動(dòng)，昔人嘗展管望之，末得其的'，作候極儀。極辰既位，天體斯正，作渾天象。象雖形似，莫適所用，作玲瓏儀。以表之測(cè)天之正圓，莫若以圓求圓，作仰儀。古有經(jīng)緯，結(jié)而不動(dòng)，守敬則易之，作立運(yùn)儀。日有中道，月有九行，守敬則一之，作證理儀。表高景虛，罔象非真，作景符。月雖有明，察景則難，作窺幾。歷法之驗(yàn)，在于交會(huì)，作日月食儀。天有赤道，輪以當(dāng)之，兩極低昂，標(biāo)以指之，作星晷定時(shí)儀。以上凡十三等。又作正方案、九表、懸正儀、座正儀，凡四等，為四方行測(cè)者所用。又作仰規(guī)、覆矩圖、異方、渾蓋圖、日出入永短圖，凡五等，與上諸儀互相參考。
十六年，改局為太史院，以贊善王恂為太史令，守敬為同知太史院事，給印章，立官府。是年，奏進(jìn)儀表式樣，守敬對(duì)御指陳理致，一一周悉。自朝至于日晏，上不為倦。
守敬奏：唐一行開元間令天下測(cè)景，書中見者凡十三處。今疆宇比唐尤大，苦不遠(yuǎn)方測(cè)驗(yàn)，日月交食分?jǐn)?shù)時(shí)刻不同，晝夜長(zhǎng)短不同，日月星辰去天高下不同;可先南北立表，取直測(cè)景。上可其奏。遂設(shè)監(jiān)候官一十四員，分道相繼而出。
先測(cè)得：南海：北極出地一十五度。夏至景在表南長(zhǎng)一尺一寸六分，晝五十四刻，夜四十六刻。衡岳：北極出地二十五度。夏至日在表端無景，晝五十六刻，夜四十四刻。岳臺(tái)：北極出地三十五度，夏至景長(zhǎng)一尺四寸八分，晝六十刻，夜四十刻。和林：北極出地四十五度，夏至景長(zhǎng)三尺二寸四分，晝六十四刻，夜三十六刻。鐵勒：北極出地五十五度，夏至景長(zhǎng)五尺一分，晝七十刻，夜三十刻。北海：北極出地六十五度，二至景長(zhǎng)六尺七寸八分，晝八十二刻，夜一十八刻。繼又測(cè)得：上都：北極出地四十三度少。大部：北極出地四十二度強(qiáng)，夏至晷景長(zhǎng)一丈二尺三寸六分，晝六十二刻，夜三十二刻。益部：北極出地三十七度少。登州：北極出地三十八度少。高麗：北極出地三十八度少。西京：北極出地四十度少。太原：北極出地三十八度少。安西府：北極出地三十四度半強(qiáng)。興元：北極出地三十三度半強(qiáng)。成都：北極出地三十一度半強(qiáng)。西涼州：北極出地四十度強(qiáng)。東平：北極出地三十五度太強(qiáng)。大名：北極出地三十六度。南京：北極出地三十四度太強(qiáng)。陽城：北極出地三十四度太。揚(yáng)州：北極出地三十三度。鄂州：北極出地三十一度半。吉州：北極出地二十六度半。雷州：北極出地二十度太。瓊州：北極出地十九度太。
十七年，新歷告成。守敬上奏曰：
臣等竊聞帝王之事，莫重于歷。自黃帝迎日推策，帝堯以閏月定四時(shí)成歲，舜在璇璣玉衡以齊七政。爰及三代，歷無定法，周秦之間，閏余乖次。西漢造《三統(tǒng)歷》，百三十年而后是非始定。東漢造《四分歷》，七十余年而儀式備。叉百二十一年，劉洪造《乾象歷》，始悟月行有遲速。又百八十年，姜岌造《三紀(jì)甲子歷》，始悟以月食沖檢日宿度所在。又五十七年，何承天造《元嘉歷》，始悟以朔望及弦定大小余。又六十五年，祖沖之造《大明歷》，始悟太陽有歲差之?dāng)?shù)，極星去不動(dòng)處一度余。又五十二年，張子信始悟日月交道有表里，五星有遲疾留逆。又三十三年，劉焯造《皇極歷》，始悟日行有盈縮。又三十五年，傅仁均造《戊寅元?dú)v》，頗采舊儀，始用定朔。又四十六年，李淳風(fēng)造《麟德歷》，以古歷章?元首分度不齊，始為總法，用迸朔以避晦晨月見。又六十三年，僧一行造《大衍歷》，始以朔有四大三小，定九服交食之異。又九十四年，徐昂造《宣明歷》，始悟日食有氣刻時(shí)三差。又二百三十六年，姚舜輔造《紀(jì)元?dú)v》，始悟食甚泛余差數(shù)。以上計(jì)千一百八十二年，歷經(jīng)七十，改其創(chuàng)法者十有三家。
自是又百七十四年，欽惟圣朝統(tǒng)一六合，肇造區(qū)夏，專命臣等改治新歷。臣等用創(chuàng)造簡(jiǎn)儀、高表，憑其測(cè)到實(shí)數(shù)所考正者凡七事：一曰冬至。自丙子年立冬后，依每日測(cè)到晷景，逐日取對(duì)，冬至前后日差同者為準(zhǔn)，得丁丑年冬至在戌日夜半后八刻半。又定丁丑夏至，得在庚子日夜半后七十刻。又定戊寅冬至，在癸卯日夜半后三十三刻;己卯冬至、在戊申日夜半后五十七刻半;庚辰冬至，在癸丑日夜半后八十一刻半。各減大明歷十八刻，遠(yuǎn)近陽符，前后應(yīng)準(zhǔn)。二曰歲余。自劉宋《大明歷》以來，凡測(cè)景驗(yàn)氣得冬至?xí)r刻真數(shù)者有六，用以陽距，各得其時(shí)合用歲余。今考驗(yàn)四年，相符不差。仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年，每歲合得三百六十五日二十四刻二十五分。其二十五分為今歷歲余合用之?dāng)?shù)。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔，得冬至日躔赤道箕宿十度，黃道箕九度有畸。仍憑每日測(cè)到太陽躔度，或憑星測(cè)月，或憑月測(cè)日，或徑憑星度測(cè)日，立術(shù)推算。起自丁丑正月，至己卯十二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔于箕，與月食相符。四曰月離。自丁丑以來至今，憑每日測(cè)得逐時(shí)太陰行度推算變，從黃道求入轉(zhuǎn)極疾并平行處，前后凡十三轉(zhuǎn)。計(jì)五十一事，內(nèi)除去不真的外，有三十事。得大明歷入轉(zhuǎn)后天，又因考驗(yàn)交食加大明歷三十刻，與天道合。五曰入交。自丁丑五月以來，憑每日測(cè)到太陰去極度數(shù)，比擬黃道去極度，得月道交于黃道，共得八事。仍依日食法度推求，皆有食分得入時(shí)刻，與大明所差不多。六曰二十八宿距度。自漢代初歷以來，距度不同，互有損益。大明歷則于度下余分附以太半少，皆私意牽就，未嘗實(shí)測(cè)其數(shù)，今新儀皆細(xì)刻周天度分，每度為三十六分，以距線代管窺宿度余分，并依實(shí)測(cè)，不以私意牽就。七曰日出入晝夜刻。《大明歷》日出入晝夜刻，皆據(jù)汁京為準(zhǔn)，其刻數(shù)與大都不同。今更以本方北極出地高下、黃道出入內(nèi)外度，立術(shù)推求每日日出入晝夜刻，得夏至極長(zhǎng)，日出寅正二刻，日入戌初二刻，晝六十二刻，夜三十八刻，冬至極短，日出辰初二刻，日入申正二刻，晝?nèi)丝�，夜六十二�?永為定式。
所創(chuàng)法凡五事：一曰太陽盈縮。用四正定氣立為升降艱，立招差求得每日行分初末極差積度，比古為密。二曰月行遲疾。古歷皆用二十八限，今以萬分日之八百二十分為一限，凡析為三百三十六限，依垛疊招差，求得轉(zhuǎn)分進(jìn)退，其遲疾度數(shù)逐時(shí)不用，蓋前所未有。三曰黃赤道差。舊法以一百一度相減相乘。今依算術(shù)勾股弧矢方圓斜直所容，求到度率積差差率，與天道實(shí)為吻合。四曰黃赤道內(nèi)外度。據(jù)累年實(shí)測(cè)內(nèi)外極度二十三度九十分，以圓容方直矢接勾股為法求每日去極，與所測(cè)相符。五曰白道交周。舊法黃道變推白道，以斜求斜。今用立渾比量，得用與赤道正交，距春秋二正黃赤道正交一十四度六十六分，擬以為法。推逐月每交二十八宿度分，于理為盡。
詔賜名曰授時(shí)歷。十八年，頒新歷于天下。
十九年，守敬以推步之式與立成之?dāng)?shù)皆無定稿，乃著《推步》七卷、《立成》二卷、《歷議擬稿》三卷、《轉(zhuǎn)神選擇》二卷、《上中下三歷注式》十二卷，表上之。二十年，又詔太子諭德李謙就守敬之《歷議稿》重加修訂，以闡新歷順天求合之理。
大德三年八月朔，時(shí)加巳依新歷日食二分有奇，至其時(shí)不應(yīng)，臺(tái)官皆懼。保章正齊履謙曰：“日當(dāng)食不食，古有之。況時(shí)近午，陽盛陰微，宜當(dāng)食不食。”遂考唐開元以來當(dāng)食不食者凡十事以聞。六年六月朔，時(shí)加戌依新歷日食五十七秒，眾以涉交既淺，且近濁，欲匿不報(bào)。履謙曰：“吾所掌者常數(shù)也。其食與否，則系于天。”獨(dú)以狀聞。及其時(shí)，果食。蓋高遠(yuǎn)難窮之事，必積時(shí)累驗(yàn)，乃見端倪�！妒跁r(shí)歷》推日食之法，較前之十三家最密矣，然尚不能無數(shù)刻之差。故元之一代，日食四十有五，推食而不食者一，食而失推者一，夜食而誤晝者一。履謙謂：食與否系于天，足猶泥前人當(dāng)食不食，不當(dāng)食而食之謬說，誣莫甚矣。
泰定間，履謙為太史院使，以《授時(shí)歷》行五十年未嘗推考，乃日測(cè)晷景并晨昏五星宿度，自至治三年冬至、泰定二年夏至天道加時(shí)真數(shù)，各減見行歷書二刻，撰《二至晷景考》二卷�！妒跁r(shí)》雖有經(jīng)串，而經(jīng)以著定法，串以紀(jì)成數(shù);求共法之所以然，數(shù)之所從出，則略而不詳;作《經(jīng)串演說》八卷，以發(fā)明其蘊(yùn)焉。
時(shí)鄱陽人趙友欽推演《授時(shí)》之理，著《革象新書》五卷，號(hào)為新歷之學(xué)。
其《歷法改革篇》曰：“歷法由古及今，六十余術(shù)矣。漢太初粗為可取，然猶疏略未密。唐一行作大衍術(shù)，當(dāng)時(shí)以為密矣，以今觀之，猶自甚疏。蓋歲淺則差少未覺，久而積差漸多，不容不改，要當(dāng)隨時(shí)測(cè)驗(yàn)，以求真數(shù)。
其《日道歲差篇》曰：“統(tǒng)天術(shù)謂周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒，周歲三百六十五日二十四分二十五秒，百年差一度半，然又謂周歲漸漸不同，上古歲策多，后世歲策少，如此則上古歲差少，后世歲差多。當(dāng)今術(shù)法謜之，立減加歲策之法，上考往古，百年加一秒，下驗(yàn)將來，百年減一秒。”
其《黃道損益篇》曰：“二至之日，黃道平其度，斂狹每度約得十之九二分，斜行赤道之交。今之授時(shí)術(shù)步得冬至日躔箕宿。以此知寅申度數(shù)最少，己亥度數(shù)最多，其余則多寡稍近。
其《積年日法篇》曰：“前代造術(shù)者，逆求往古門上元，求其積年總會(huì)，是以必立日法。然有所謂截元術(shù)，但將推步定數(shù)為順?biāo)隳婵�，不求其齊。當(dāng)今授時(shí)術(shù)采舊術(shù)截元之術(shù)，凡積年日法皆所不取。
其《日月盈縮筒》曰：“月行十三度余十九之七，然或先期，或后期，有差至四五度者，后漢劉洪始考究之，知月有盈縮。隋之劉焯始覺太陽亦有盈縮，最多之時(shí)在于春秋二分，均差兩度有余。李淳風(fēng)有推步月孛法，謂六十二日行七度，六十二年七周天。所謂孛者，乃彗星之一種光芒，偏槊者則謂之彗，光芒四出如渾圓者乃謂之孛。然孛以月為名者，孛之所在，太陰所行最遲，太陰在孛星對(duì)沖處則所行最疾。孛星不常見，止以太陰所行最遲處測(cè)之。
其《月有九道篇》曰：“月行出入黃道之內(nèi)外，遠(yuǎn)于黃道處六度二分。月道與黃道相交處在二交之始，名曰羅喉，交之中，名曰計(jì)都。自交初至于交中，月在黃道外，名曰陽限。自交中至于交出，月在黃道內(nèi)，名曰陰限。所謂九行者，當(dāng)以畫圖比之。四圖各兩黃道，似一圓環(huán)，俱于環(huán)南定為夏至。環(huán)北定為冬至，環(huán)西定為春分，環(huán)東定為秋分。將一圖畫為青追，與黃道交于南北，南交為羅，北交為計(jì)。其青道二邊入在黃道西之東，是內(nèi)青道;一邊出在黃道東之東，是外青道。又將一圖畫白道，亦與黃道交于南北，南交為計(jì)，北交為羅。其白道一邊入在黃道東之西，是內(nèi)白道;一邊出在黃道西之西，是外白道。又將一圖畫朱道，與黃道交于東西，東交為計(jì)，西交為羅。其朱道一邊入黃道之南，是內(nèi)朱道，一邊出在黃道南之南，是外朱道。又將一圖畫黑道，亦與黃道交于東西，東交為羅，西交為計(jì)。其黑道一邊入在黃道南之北，是內(nèi)黑道;一邊出在黃道北之北，是外黑道。此雖畫四圖，然四圖之八道止是一道也。本八道而曰九行者，以北道之行，交于黃道，故道以九言也。八道常變易，不可置于渾儀上，亦不得畫于星圖。所可具者黃、赤二道耳。欲別于黃，故涂以赤。赤道近八道皆相交遠(yuǎn)近。朱道止十八度遠(yuǎn)，黑道至三十度遠(yuǎn)，青白二道約二十四度遠(yuǎn)。”
其《地域遠(yuǎn)近篇》曰：“古者立八尺之表，以驗(yàn)四時(shí)日景。地中夏至，景在表北一尺六寸，冬至，景在表北一丈三尺。南至交廣，北至鐵勒等處驗(yàn)之，俱各不同。表高八尺，似失之短。至元以來，表長(zhǎng)四丈，誠萬古之定法也。所謂土圭者，自古有之。然地上天多早晚，太陽與人相近，則景移必疾;日午與人相遠(yuǎn)，則景移必遲。世間土圭均畫而已，豈免午侵己未，而早晚時(shí)刻俱差。地中差已如是，若以八方偏地驗(yàn)之，土圭之不可準(zhǔn)尤為顯。然偏東者，早景疾，而晚景遲，午景先至;偏西者，早景遲，而晚景疾，午景后期;偏北者，少其畫，而景遲;偏南者，多其畫，而景疾。若南越短，景南指，而子午反復(fù)，則又訛?zāi)嫔跻印?rdquo;其《日月薄食篇》曰：“日之圓，體大，月之圓，體小。日道之周圍亦大，月道之周圍亦小。日道距天較近，月道距天較遠(yuǎn)。日月之體與所行之道，雖有少廣之差，然月與人相近，日與人相遠(yuǎn)。故月體因近視而可比日道之廣，日食、月食當(dāng)以天度經(jīng)緯而推。同經(jīng)不同緯，止曰合朔。同經(jīng)同緯合朔，而有食矣。人望日體，見為月之黑體所障，故云日食。然日體未嘗有損，所謂食者，強(qiáng)名而已。日月對(duì)躔，而望若不當(dāng)二交前后，則不食。望在二交前后，則必食�；蚣然虿患�，當(dāng)以距交遠(yuǎn)近而推。日月之圓徑相倍。日徑一度，月徑止得日徑之半，然在于近視，亦準(zhǔn)一度。是猶省秤出于復(fù)秤，斤兩雖同，其實(shí)則有輕重之異。日之圓徑倍于月，則暗虛之圓徑亦倍于月。月既準(zhǔn)一度，則暗虛廣二度矣。月食分?jǐn)?shù)止以距交近遠(yuǎn)而論，別無四時(shí)加試。八方所見食分并同。日食則不然，舊歷云：假令中國(guó)食既戴，日之下所虧才半，化外反觀，則交而不食。何以言之?日月如大小二球，共懸一索。日上、月下，相去稍遠(yuǎn)，人在其下正望之，黑球遮盡赤球，比若食既。若傍視，則分遠(yuǎn)近之差，即食數(shù)有多寡也。”
其《五緯距合篇》曰：“古者止知五緯距度，未知有變數(shù)之加減。北齊張子信仰觀歲久，始知五緯又有盈縮之變，當(dāng)加減常數(shù)以求其逐日之躔。所以然者，蓋五緯不由黃道，亦不由月之九道。乃出入黃道內(nèi)外，各自有其道。視太陽遠(yuǎn)近而遲疾者，如足力之勤倦又有變數(shù)之加減者。比如道里之徑直斜曲。其《勾股測(cè)天篇》曰：“古人測(cè)景，千里一寸之差，猶未親切。今別定表之制度，并述元有算法。就地中各去南北數(shù)百里，仍不偏于東西，俱立一表，約高四丈。于表首下數(shù)寸作一方竅，外廣而內(nèi)狹，當(dāng)中薄如連邊，兩旁如側(cè)置漏底之碗，形圓而竅方。以南北表景之?dāng)?shù)相減余，名景差。兩表相距里路，各乘南北表景，各如景差而一即得。二表各與戴日之地相距數(shù)日，平遠(yuǎn)各以表景加之，所得各以表高乘之，各如表景而一即得。日輪頂與戴日地相距數(shù)，以南北表景各加平遠(yuǎn)所得自乘，名勾冪。日高自乘，名股冪。兩冪相并，名弦冪。開為平方，名曰日遠(yuǎn)。乃南北表竅之景距日斜遠(yuǎn)也。
其《乾象周髀篇》曰：“古人謂圓徑一尺，周圍三尺。后世考究則不然。圓一而周三，則尚有余;圍三而徑一，則為不足。蓋圍三徑一，是六角之用也�；蛑^圓徑一尺，周圍三尺一寸四分;或謂圓徑七尺，周圍二十二尺;或謂圓徑一百一十三，周圍三百五十五。徑一而周三一四，猶自徑多圍少;徑七而周二十二，卻是徑少周多;徑一百一十三，周三百五十五，最為精密。其考究之術(shù)，兩百眼茶盤一，眼廣一寸，方圖之內(nèi)，畫為圓圖，徑十寸，圓內(nèi)又畫小方圖。小方以算術(shù)展為圓象，自四角之方，添為八角曲圓為第一次。若第二次，則為曲十六。第三次為，則曲三十二。第四次則為曲六十四。凡多一交，其曲必倍。至十二次，則其為曲一萬六千三百八十四。其初之小方，漸加漸展，漸滿漸實(shí)，角放愈多，而其為方者不復(fù)方，而變?yōu)閳A矣。今先以第一次言之，內(nèi)方之弦十寸，名大弦，自乘得一百寸，名大弦冪，內(nèi)方之勾冪五十寸，名第一次大勾冪。以第一次大勾冪，減其大弦冪，余五十寸，名大股冪，開方得七寸七厘一毫有奇，名第一次大股。以第一次大股減其大弦，余二寸九分二厘八毫有奇，名第一較，折半得一寸四分六厘四毫有奇，名第一次小勾。此小勾之?dāng)?shù)。乃內(nèi)方之四邊與圓圍最相遠(yuǎn)處也。以第一次小勾自乘，得二寸一分四厘四毫有奇，名第一次小勾冪。以第一次大勾冪，折半得二十五寸。又折半得十二寸五分，名第一次小股冪，并第一次小勾冪，得一十四寸六分四百四毫有奇，名第一次小弦冪，開方得三寸八分二厘六毫有奇，名第一次小弦，即是八曲之一。八乘第一次小弦，行三十寸六分一厘有奇，即是八曲之周圍也。此以小數(shù)求之，不若改為大數(shù)，將大弦改為一千寸，然后依法而求。若求第二次者，以第一次小弦冪，就名第二次大勾冪。以第一次大股冪減其大弦冪余，為第二次大股冪。開方為第二次大股，以減其大弦余為第二較，折半名二次小勾。此小勾之?dāng)?shù)，即是八曲之邊，與圓圍最相遠(yuǎn)處也。以第二次小勾自乘，名第二次小勾冪。以第二次大勾冪兩折，名第二次小股冪。以第二次小股冪并第二次小勾冪，名第二次小弦冪，開方為第二次小弦，即是十六曲之一。以十六乘第二小弦即是十六曲之周圍也。以第二次仿第一次，若至十二次，亦遞次相仿。置第十二次之小弦，以第十二次之曲數(shù)一萬六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸徑之周圍也。以一百一十三乘之，果得三百五十五。故言其法精密。要之方為數(shù)之始，圓為數(shù)之終。圓始于方，方終于圓。周髀之術(shù)，無出于此矣。
友欽闡明歷理，于授時(shí)術(shù)尤為深得，傳其學(xué)于龍游人朱暉。有元一代，不為歷官，而知?dú)v者，友欽一人而已。
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