初一下冊(cè)幾何證明
1.已知在三角形ABC中，BE,CF分別是角平分線(xiàn)，D是EF中點(diǎn)，若D到三角形三邊BC,AB,AC的距離分別為x,y,z，求證：x=y+z
證明;過(guò)E點(diǎn)分別作AB,BC上的高交AB,BC于M,N點(diǎn).
過(guò)F點(diǎn)分別作AC,BC上的高交于P,Q點(diǎn).
根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的2邊距離相等可以知道FQ=FP,EM=EN.
過(guò)D點(diǎn)做BC上的高交BC于O點(diǎn).
過(guò)D點(diǎn)作AB上的高交AB于H點(diǎn),過(guò)D點(diǎn)作AB上的高交AC于J點(diǎn).
則X=DO,Y=HY,Z=DJ.
因?yàn)镈 是中點(diǎn),角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD
同理可證FP=2DJ。
又因?yàn)镕Q=FP,EM=EN.
FQ=2DJ，EN=2HD。
又因?yàn)榻荈QC，DOC，ENC都是90度，所以四邊形FQNE是直角梯形，而D是中點(diǎn)，所以2DO=FQ+EN
又因?yàn)?br>FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。
因?yàn)閄=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。
2.在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、EA上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108°，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論BM=CN是否成立?若成立，請(qǐng)給予證明;若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。
當(dāng)∠BON=108°時(shí)。BM=CN還成立
證明;如圖5連結(jié)BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ ΔCDE
∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN
3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分線(xiàn)交AC與N，則角NBC=( )
3°
因?yàn)锳B=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。
因?yàn)锳B的垂直平分線(xiàn)交AC于N，設(shè)交AB于點(diǎn)D，一個(gè)角相等，兩個(gè)邊相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN
所以 ∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°
4.在正方形ABCD中，P，Q分別為BC，CD邊上的點(diǎn)。且角PAQ=45°，求證：PQ=PB+DQ
延長(zhǎng)CB到M，使BM=DQ，連接MA
∵M(jìn)B=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠
∴三角形AMB≌三角形AQD
∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ
∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ
∵∠MAP=∠PAQ
AM=AQ AP為公共邊
∴三角形AMP≌三角形AQP
∴MP=PQ
∴MB+PB=PQ
∴PQ=PB+DQ
5.正方形ABCD中,點(diǎn)M,N分別在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于點(diǎn)P,求證DP⊥NP
∵直角△BMP∽△CBP
∴PB/PC=MB/BC
∵M(jìn)B=BN
正方形BC=DC
∴PB/PC=BN/CD
∵∠PBC=∠PCD
∴△PBN∽△PCD
∴∠BPN=∠CPD
∵BP⊥MC
∴∠BPN+∠NPC=90°
∴∠CPD+∠NPC=90°
∴DP⊥NP
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1.已知在三角形ABC中，BE,CF分別是角平分線(xiàn)，D是EF中點(diǎn)，若D到三角形三邊BC,AB,AC的距離分別為x,y,z，求證：x=y+z
證明;過(guò)E點(diǎn)分別作AB,BC上的高交AB,BC于M,N點(diǎn).
過(guò)F點(diǎn)分別作AC,BC上的高交于P,Q點(diǎn).
根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的2邊距離相等可以知道FQ=FP,EM=EN.
過(guò)D點(diǎn)做BC上的高交BC于O點(diǎn).
過(guò)D點(diǎn)作AB上的高交AB于H點(diǎn),過(guò)D點(diǎn)作AB上的高交AC于J點(diǎn).
則X=DO,Y=HY,Z=DJ.
因?yàn)镈 是中點(diǎn),角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD
同理可證FP=2DJ。
又因?yàn)镕Q=FP,EM=EN.
FQ=2DJ，EN=2HD。
又因?yàn)榻荈QC，DOC，ENC都是90度，所以四邊形FQNE是直角梯形，而D是中點(diǎn)，所以2DO=FQ+EN
又因?yàn)?br>FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。
因?yàn)閄=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。
2.在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、EA上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108°，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論BM=CN是否成立?若成立，請(qǐng)給予證明;若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。
當(dāng)∠BON=108°時(shí)。BM=CN還成立
證明;如圖5連結(jié)BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ ΔCDE
∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN
3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分線(xiàn)交AC與N，則角NBC=( )
3°
因?yàn)锳B=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。
因?yàn)锳B的垂直平分線(xiàn)交AC于N，設(shè)交AB于點(diǎn)D，一個(gè)角相等，兩個(gè)邊相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN
所以 ∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°
4.在正方形ABCD中，P，Q分別為BC，CD邊上的點(diǎn)。且角PAQ=45°，求證：PQ=PB+DQ
延長(zhǎng)CB到M，使BM=DQ，連接MA
∵M(jìn)B=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠
∴三角形AMB≌三角形AQD
∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ
∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ
∵∠MAP=∠PAQ
AM=AQ AP為公共邊
∴三角形AMP≌三角形AQP
∴MP=PQ
∴MB+PB=PQ
∴PQ=PB+DQ
5.正方形ABCD中,點(diǎn)M,N分別在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于點(diǎn)P,求證DP⊥NP
∵直角△BMP∽△CBP
∴PB/PC=MB/BC
∵M(jìn)B=BN
正方形BC=DC
∴PB/PC=BN/CD
∵∠PBC=∠PCD
∴△PBN∽△PCD
∴∠BPN=∠CPD
∵BP⊥MC
∴∠BPN+∠NPC=90°
∴∠CPD+∠NPC=90°
∴DP⊥NP