計(jì)算進(jìn)化史讀后感
2+2=4 需要證明嗎?可以用計(jì)算的方式證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)嗎?計(jì)算機(jī)可以代替人進(jìn)行所有的數(shù)學(xué)證明嗎?如果你思考過(guò)這些問(wèn)題又沒(méi)有明確的答案，那么可以看看這本《計(jì)算進(jìn)化史》。
數(shù)學(xué)與算術(shù)的關(guān)系
數(shù)學(xué)與計(jì)算到底是什么關(guān)系?對(duì)于不同的人，可能答案會(huì)不一樣。小學(xué)的時(shí)候，數(shù)學(xué)對(duì)我來(lái)說(shuō)就是算術(shù)(計(jì)算)，加減乘除、乘法口訣表到混合運(yùn)算到簡(jiǎn)單的解方程，所有的東西都是算算算……;到了初中開(kāi)始學(xué)習(xí)幾何，才開(kāi)始接觸簡(jiǎn)單的公理、推理、證明;高中時(shí)代演繹、歸納成為挑戰(zhàn)，而對(duì)計(jì)算的能力要求已然退居幕后;大學(xué)伊始，高數(shù)里的無(wú)窮∞ 、連續(xù)、斷點(diǎn)、微分、積分對(duì)于沒(méi)有準(zhǔn)備的新生而言大多是揮之不去的夢(mèng)魘。
為什么我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯要這么設(shè)計(jì)?大概與人對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知過(guò)程和方式有關(guān)吧。媽媽教我數(shù)數(shù)是從掰手指頭開(kāi)始的。美索不達(dá)米亞人的原始數(shù)學(xué)考慮的是：如果要把1152000份糧食分給164571個(gè)人，每個(gè)人能分幾份;100步長(zhǎng)、100步寬的田產(chǎn)與1000步長(zhǎng)、10步寬的田產(chǎn)哪個(gè)面積大的問(wèn)題;埃及人要考慮怎樣丈量并切割出來(lái)的大石塊砌成大金字塔而不會(huì)倒塌;秦始皇鑿靈渠需要計(jì)算大小天平的尺寸來(lái)實(shí)現(xiàn)“三分入漓、七分入湘”。原始的數(shù)學(xué)一定是伴隨著人類的實(shí)際需求而生的。
古典數(shù)學(xué)的誕生與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)
大部分人在一生之中也不會(huì)真正去去考慮“如果我有無(wú)窮的錢，該怎么花光”這樣的“實(shí)際”問(wèn)題。只有在生產(chǎn)力發(fā)展到一定階段，有一部分人可以從體力勞動(dòng)里解放出來(lái)，專門(mén)思考“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”這樣的`問(wèn)題，才會(huì)開(kāi)始嘗試把“數(shù)學(xué)”對(duì)象從對(duì)自然物體進(jìn)行“算術(shù)”的過(guò)程分離出來(lái)，成為抽象而獨(dú)立的概念。
數(shù)學(xué)的航船從勾股定理的誕生開(kāi)始起航，遭遇到了畢達(dá)哥拉斯悖論，卷入了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的漩渦，希帕索斯甚至為了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)付出了生命的代價(jià)，最終在歐多克索斯的拯救下得以擺脫危局。經(jīng)過(guò)這次危機(jī)的洗禮，希臘人才不得不承認(rèn)：直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)?zāi)酥翆?shí)驗(yàn)(任何實(shí)驗(yàn)都只能得到用有理數(shù)表示的量)都不是絕對(duì)可靠的，而推理論證才是可靠的，證明的思想在希臘人心中扎根，而計(jì)算作為推理構(gòu)造的工具則應(yīng)隱藏在幕后。進(jìn)一步，希臘人發(fā)展了邏輯思想并加深了對(duì)數(shù)學(xué)抽象性、理想化等特征的認(rèn)識(shí)。柏拉圖強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)要奠基于邏輯之上，必須要有準(zhǔn)確的定義、清楚的假設(shè)和嚴(yán)格的證明，他的“應(yīng)從自明的假設(shè)出發(fā)進(jìn)行嚴(yán)格的證明”的思想成為古希臘公理方法的發(fā)端。
相比之下，包括中國(guó)在內(nèi)的東方古代的數(shù)學(xué)家們將興趣集中于計(jì)算，忽略了無(wú)理數(shù)概念所涉及的邏輯難點(diǎn)，固然沒(méi)有碰上悖論的礁石，卻也同時(shí)失去了發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯體系的契機(jī)。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以算為中心，卻最終沒(méi)有形成一個(gè)嚴(yán)密的公理化演繹體系，可稱為憾事。
古典數(shù)學(xué)統(tǒng)治的負(fù)面影響與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
古希臘人在解決第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的過(guò)程中，對(duì)無(wú)理量建立了嚴(yán)密的理論，并構(gòu)建了幾何學(xué)的大廈，而自歐氏之后，代數(shù)與幾何被嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)來(lái)，由于幾何擁有“嚴(yán)格”數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，這就建立起古典數(shù)學(xué)中幾何對(duì)算術(shù)(計(jì)算)的絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。這種重幾何、輕計(jì)算的思想使得算術(shù)、代數(shù)的發(fā)展受到極大的限制，以致于到19世紀(jì)時(shí)“geometrist”(幾何學(xué)家)還是所有數(shù)學(xué)家的代名詞。
實(shí)際上當(dāng)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)不可公度量的存在時(shí)，他們就已經(jīng)面臨“離散與連續(xù)”的難題。事實(shí)上，離散量對(duì)地球人而言是直觀的，而連續(xù)、極限、無(wú)限這些概念甚至對(duì)于很多“考過(guò)”高等數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)也是一道大檻。所以地球人花了近兩千年去跨這道坎也不足為奇。
計(jì)算技術(shù)的發(fā)展是文藝復(fù)興時(shí)期數(shù)學(xué)的重要成就，主要體現(xiàn)于代數(shù)學(xué)上的突飛猛進(jìn)，符號(hào)體系的引入使得計(jì)算發(fā)生了重大的變革。而數(shù)學(xué)在天文學(xué)、力學(xué)研究中發(fā)揮的巨大作用使代數(shù)越來(lái)越成為解決問(wèn)題的有效工具。笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何則改變了數(shù)學(xué)的面貌，把原來(lái)被古希臘人割裂開(kāi)來(lái)的幾何、數(shù)、形重新結(jié)合在一起，并直接促進(jìn)了微積分的誕生!
“無(wú)窮小量究竟是否為0”的貝克萊悖論在微積分草創(chuàng)時(shí)代確實(shí)帶來(lái)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，然而，微積分在科學(xué)研究、數(shù)學(xué)應(yīng)用(計(jì)算)中顯示了巨大的威力，依靠這個(gè)強(qiáng)有力的工具，地球人解決了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)和物理上的難題，也使得人們有信心為其打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
最終數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)依賴實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)依賴有理數(shù)、有理數(shù)依賴自然數(shù)的逐層構(gòu)建，隨分析的算術(shù)(計(jì)算)化，使微積分有了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。這個(gè)時(shí)期，計(jì)算又開(kāi)始在數(shù)學(xué)的舞臺(tái)上扮演重要的角色。
集合論、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)和計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)代的到來(lái)
當(dāng)我們進(jìn)入高中后，遇到的第一個(gè)數(shù)學(xué)概念就是：集合。集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，并在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占據(jù)統(tǒng)治地位。集合論的開(kāi)創(chuàng)者康托爾的超限數(shù)理論引發(fā)了數(shù)學(xué)界的大戰(zhàn)，而這涉及數(shù)學(xué)證明的方法問(wèn)題。數(shù)學(xué)中常用的證明方法有兩種：構(gòu)造性證明和存在性證明。
本書(shū)用了大量篇幅介紹這兩種證明的區(qū)別與聯(lián)系，此處不再贅述。集合論的誕生從本質(zhì)上揭示了無(wú)窮的特性，給數(shù)學(xué)開(kāi)辟了廣闊的新領(lǐng)域，促使了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的形成，并用集合論的語(yǔ)言重述或解決了代數(shù)、幾何、分析中長(zhǎng)期存在的問(wèn)題，并引出了實(shí)變函數(shù)、抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)等眾多現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支。
正當(dāng)數(shù)學(xué)家們沉醉于數(shù)學(xué)絕對(duì)嚴(yán)格性的時(shí)候，羅素捅了大漏子，引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)和新的大論戰(zhàn)。以羅素為代表的邏輯主義、布勞威爾為代表的直覺(jué)主義和希爾伯特為代表的形式主義戰(zhàn)作一團(tuán)。1930年希爾伯特宣稱：“把每個(gè)數(shù)學(xué)命題都變成一個(gè)可以具體表達(dá)和嚴(yán)格推導(dǎo)的公式，經(jīng)過(guò)這樣改造的數(shù)學(xué)所推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)果無(wú)懈可擊!”
然而，富有戲劇性的是在他發(fā)出這一結(jié)論的前一天，在另一個(gè)研討會(huì)上，哥德?tīng)柊l(fā)表了一項(xiàng)聲明，使得在場(chǎng)的希爾伯特的學(xué)生馮.諾伊曼立刻意識(shí)到希爾伯特的綱領(lǐng)是沒(méi)法實(shí)現(xiàn)了。哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼耐瞥鼋Y(jié)束了三大派的論戰(zhàn)，而數(shù)理邏輯成了最后的贏家。
哥德?tīng)枴⑶鹌�、圖靈、克萊尼用各自的方式定義了一種語(yǔ)言來(lái)描述算法，最終他們的定義被證明具有等價(jià)性，而今天我們可以說(shuō)，它們分別定義了一種“編程語(yǔ)言”。而在哥德?tīng)柊l(fā)表聲明現(xiàn)場(chǎng)的馮.諾伊曼則最終造出了可以運(yùn)行“編程語(yǔ)言”的計(jì)算機(jī)，并開(kāi)啟了計(jì)算機(jī)計(jì)算的時(shí)代。
今天，我們每個(gè)人都離不開(kāi)各式各樣的計(jì)算設(shè)備，而計(jì)算設(shè)備和算法本身也在發(fā)生著飛速的變化，阿爾法狗已經(jīng)擊敗了最強(qiáng)的人類圍棋手，“機(jī)器會(huì)思考嗎?”這個(gè)問(wèn)題也許會(huì)在不遠(yuǎn)的奇點(diǎn)處給出我們答案!
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